Homotopy Tree

 Homotopi adalah relasi ekuivalensi, dibentuk sebuah kategori yang dikenal dengan kategori homotopi. Fungtor yang membangkitkan kategori dari ruang topologi bersama dengan pemetaan kontinunya menjadi kategori homotopi yang merupakan fungtor kovarian dan dinamakan fungtor lokalisasi natural.

Homotopy Tree merupakan suatu metode bagian dari Segmentasi Citra Active Contour, Homotopy Tree digunakan untuk mendapatkan tepi dari objek dalam suatu citra dengan mengenali bagian titik-titik warna yang hampir sama dengan ketetanggaanya. Transformasi ketetanggaan merupakan penipisan dari citra awal dengan mengetahui nilai titik-titik dari setiap piksel sesuai dengan konfigurasi ketetanggaan yang ada dari warna citra tersebut. Karena adanya perubahan intensitas inilah sehingga mampu mendeteksi tepi-tepi objek dalam citra.

Penipisan homotopik dapat merepresentasikan citra biner dalam bentuk dasarnya dimana obyek diurai menjadi himpunan bagian terkecil yang merupakan rangka dari obyek tersebut (morphological skeleton). Rangka obyek ini akan dapat memberikan informasi bentuk dasar, dinamika pertumbuhan dan perubahan posisi relatif terhadap acuan. Dalam operasi perangkaan ini dibutuhkan transformasi homotopi yaitu tetap menjaga konektivitas atau antar hubung dari komponen-komponen yang ditipiskan sehingga dapat mencerminkan alur-alur bentuk pada citra.

Perangkaan morfologi ini dapat menyimpulkan karakteristik obyek secara individual berhubungan dengan bentuk, ukuran, arah dan antar hubung dari obyek. Pengembangan metoda garis pembatas air (watershed) dapat memecahkan masalah segmentasi citra yaitu untuk mendeteksi kontur citra multifasa yang memiliki nilai-nilai digital tingkat permukaan yang tidak homogen yang sebelumnya sulit untuk dapat dipecahkan dengan metoda konvensional.

Bentuk morfologi sangat efisien untuk analisis dan pemrosesan citra.  Salah satu kerugiannya adalah biasanya tidak self-dual. Sebagai konsekuensinya, objek yang gelap dan terang biasanya tidak diberi perlakuan yang sama, yang mana biasanya terdapat bagian yang tidak diinginkan.

Seperti citra di bawah, dalam penyelesaian masalah pada noise citra biner dimana gambar 1(a). Merupakan operasi pengikisan sederhana (sebagai langkah pertama dalam pembukaan/opening) menghapus komponen yang positif pada noise, tetapi komponen yang negative sebenarnya dibesarkan, seperti dalam gambar 1(b), sedangkan pendekatan standar pada opening-closing atau closing-opening ditunjukkan pada gambar 1(c) dan 1(d).

 (a)

(b)

 (c)

 

(d)

Gambar 1: (a) Citra biner yang bernoise – foreground berwarna hitam dan background berwarna putih, (b) pengikisan dengan elemen yang berstruktur segi empat dengan ukuran 3 x 3, (c) hasil dari opening – closing dengan struktur elemen yang sama, (d) hasil dari opening–closing dengan struktur elemen yang sama.

Jika X merupakan input citra biner yang dibentuk dalam ruang Euclidean E, kemudian akar dari homotopy tree adalah komponen tak hingga yang terhubung pada X^c. Simpul level pertama pada homotopy tree berupa komponen yang terhubung pada X yang berdekatan dengan akar. Sedangkan untuk level kedua yaitu komponen yang terhubung pada X^c yang berdekatan dengan simpul level pertama dan seterusnya. Perhatikan contoh citra di bawah ini.

 (a)

 (b)

 

(c)

Gambar 2 : (a) Citra biner. Tiap-tiap huruf menjelaskan komponen yang terhubung. A merupakan komponen background, B dan C merupakan dua komponen hitam yang terhubung, sedangkan D dan E merupakan dua komponen putih yang terhubung di dalam B.

a)    homotopy tree dari (a)

b)   transformasi homotopy

Berikut ini merupakan gambar dari skema dari metode homotopy tree :